泰勒公式（Taylor's formula）是一種用於展開函式的重要工具，它可以將一個在某點具有足夠階導數的函式表示為一個多項式和一個餘項的和。具體來說，如果函式( f(x) )在( x=x_0 )的某個鄰域內具有( n )階導數，那麼對於該鄰域內的任意點( x )，( f(x) )可以表示為：
[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x) ]
其中( R_n(x) )是餘項，它表示了函式( f(x) )與多項式部分的差異。餘項可以是不同的形式，例如：
帶Peano餘項的Taylor公式：( R_n(x) = o((x - x_0)^n) )，表示餘項是( (x - x_0)^n )的高階無窮小。
帶拉格朗日餘項的Taylor公式：( R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1} )，其中( \xi )在( x )和( x_0 )之間。
泰勒公式的套用非常廣泛，包括但不限於：
求函式的近似值。
求等價無窮小。
證明不等式。
求極限。
判斷函式的極值。
求高階導數在某點的數值。
判斷廣義積分的收斂性。
近似計算。
泰勒公式不僅在理論上有著重要的地位，也在實際套用中提供了強大的工具。通過選擇合適的( x_0 )和( n )，可以將複雜的函式近似地表示為簡單的多項式函式，從而簡化計算和分析過程。