泰勒級數

泰勒級數是一種數學表達式，用於描述函式在某一點的鄰域內的行為。具體來說，如果函式 \( f(x) \) 在點 \( x = x_0 \) 的某一鄰域內具有直到 \( (n+1) \) 階導數，那麼在該鄰域內 \( f(x) \) 的 \( n \) 階泰勒公式可以表示為：

\[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)(x - x_0)^2}{2!} + \frac{f'''(x_0)(x - x_0)^3}{3!} + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n}{n!} + \ldots \]

其中，\( f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n/n! \) 稱為拉格朗日餘項。當 \( x_0 = 0 \) 時，這種泰勒級數被稱為麥克勞林級數。泰勒級數的一個重要套用是函式擬合，它可以通過在某一點附近的多項式展開來近似函式的行為。這種級數在複變函數理論中也有廣泛套用，例如在推導歐拉公式時發揮了關鍵作用。