特徵向量在幾何上表示了在線性變換下保持方向不變或僅被伸縮的非零向量，而特徵值是與這些特徵向量相關聯的標量，表示在這些變換中特徵向量的伸縮比例。具體來說，特徵值和特徵向量的幾何意義可以通過以下方式進行解釋：
伸縮變換。特徵向量描述了在線性變換下保持方向不變的向量，而特徵值表示該向量在變換中的伸縮比例。當特徵值爲正時，表示特徵向量在變換中被拉伸；當特徵值爲負時，表示特徵向量在變換中被壓縮；當特徵值爲零時，表示特徵向量在變換中被壓縮到一條線上。
旋轉變換。特徵向量也可以表示線性變換中的旋轉方向。當特徵值是複數時，特徵向量的實部和虛部可以描述旋轉的方向和角度。特徵向量對應於複數特徵值的線性變換可以看作是一箇繞着原點旋轉的變換。
總的來說，特徵向量和特徵值揭示了線性變換對空間中向量的影響，幫助我們理解矩陣的性質和行爲。