琴生不等式，也稱為Jensen不等式，涉及到凸函式和期望值或加權平均值的概念。其基本形式可以表述為：
定義形式：如果函式( f(x) )在區間([a, b])上是凸函式，那麼對於該區間內的任意( n )個點( x_1, x_2, \ldots, x_n )，有：
[ \frac{\sum_{i=1}^{n} f(x_i)}{n} \geq f\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right) ]
這裡，等號成立若且唯若( x_1 = x_2 = \ldots = x_n )。
加權形式：對於下凸函式，加權形式的琴生不等式為：
[ f\left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^{n} \lambda_i f(x_i) ]
其中，( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i = 1 )且( \lambda_i \geq 0 )。等號成立若且唯若( x_1 = x_2 = \ldots = x_n )。
對於上凸函式，加權形式的琴生不等式則為：
[ f\left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i \right) \geq \sum_{i=1}^{n} \lambda_i f(x_i) ]
同樣，( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i = 1 )且( \lambda_i \geq 0 )。等號成立若且唯若( x_1 = x_2 = \ldots = x_n )。
這些公式提供了關於凸函式的一個重要性質：在凸函式的情況下，函式的期望值或加權平均值位於其實際值之間。這是凸函式的一個重要特性，它在最佳化理論、統計學和經濟學等多個領域中有著廣泛的套用。