秩分解是矩陣分解的一種形式，它涉及到將一個矩陣表示為多個秩為1的矩陣之和。具體來說，如果一個矩陣的秩為r，那麼它可以表示為r個秩為1的矩陣之和，但不能表示為少於r個秩為1的矩陣之和。這是因為秩一矩陣是指存在非零n維列向量α和β，使得A=αβ^T。因此，秩分解可以看作是將一個高秩矩陣分解為一系列秩一矩陣的和，以便更好地理解矩陣的性質和進行計算。
例如，任意n階實對稱矩陣A可以寫為：
A = λ1α1α1^T + λ2α2α2^T + ... + λnαnαn^T
其中λi是A的全部特徵值，而α1, α2, ..., αn是標準正交的實n維列向量組，且滿足Aαi=λiαi。這意味著實對稱矩陣可以分解為其全部特徵值對應的秩一矩陣之和。
這種分解在數學和工程領域有著廣泛的套用，特別是在處理大型矩陣和進行降維處理時。通過將一個複雜的矩陣分解為簡單的秩一矩陣之和，可以簡化計算並揭示矩陣的本質特徵。