終值定理是數學分析中的一個重要概念，主要用於處理時間趨於無窮時的時域表達式與頻域行為之間的關係。它在信號處理和控制系統分析中有著廣泛的套用。
定義和公式：
終值定理（Final Value Theorem, FVT）的公式可以表示為：
\[ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s) \]
其中，\( f(t) \) 是時域中的函式，\( F(s) \) 是 \( f(t) \) 的拉普拉斯變換。終值定理允許我們直接對頻域表達式取極限來計算時域行為，無需先轉換到時域表達式再取極限。
套用條件：
為了套用終值定理，需要滿足以下條件：
\( f(t) \) 必須是拉普拉斯變換的。
\( F(s) \) 在 \( s=0 \) 處至少有一階極點。
\( F(s) \) 在右半平面及虛軸上不存在極點，最多允許一個位於原點處的極點。
例子：
考慮一個傳遞函式為 \( G(s) = \frac{1}{s^2 + 14.14s + 100} \) 的系統。其單位階躍回響的終值可以通過終值定理計算為：
\[ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sG(s) = \lim_{s \to 0} \frac{s}{s^2 + 14.14s + 100} = 1 \]
這意味著系統的單位階躍回響最終穩定在1。
總結：
終值定理提供了一個直接計算時域中函式在時間趨於無窮時的值的方法，而無需先進行複雜的時域分析。它在控制系統分析和信號處理等領域中非常有用，可以幫助我們理解和設計系統在長時間運行時的行為。