西格蒙德定理（Zsigmondy's theorem）是數論中的一個重要定理，它有兩個形式，形式一實際上是形式二的特例，但證明更為簡便，適用範圍也更廣。以下是兩個形式的詳細解釋：
形式一：
條件：a, n是大於1的整數，存在素數q | a^n - 1，q與所有的a^j - 1, 0 < j < n互素。
結論：除非(a, n)是以下情況之一：n=6且a=2，或n=2且a=2^s - 1, s > 1。
形式二：（證明較為複雜，涉及割圓多項式和莫比烏斯反演公式）
條件：與形式一相同。
結論：與形式一相同，但證明更為深入和複雜。
該定理的證明過程中使用了割圓多項式的一些結論和莫比烏斯反演公式。莫比烏斯函式μ(n)定義為：
如果n=1，則μ(n)=1；
如果n是k個不同素數的積，則μ(n)=(-1)^k；
如果n被一個素數的平方整除，則μ(n)=0。
西格蒙德定理在數論中有廣泛的套用，特別是在解決有關整數冪和素數分布的問題時。形式一的證明相對直觀，而形式二的證明則更加複雜，涉及到更深入的數學知識。