阿斯科利定理

阿斯科利定理是泛函分析中的一個重要定理，它給出了一個函式集合在關於一致收斂的拓撲意義上是緊集的充分必要條件。這個條件是函式集的等度連續性質。阿斯科利定理的完整證明是由阿爾澤拉和阿斯科利兩位義大利數學家分別在1895年和1883年完成的。阿爾澤拉的貢獻是證明了成為緊集的必要條件，而阿斯科利則證明了充分條件。後來，法國數學家弗雷歇將這個定理推廣到了任意的能夠定義極限的空間中，如度量空間或豪斯多夫空間。

阿斯科利定理在數學分析、拓撲學等領域有著廣泛的套用，例如在證明常微分方程組理論的皮亞諾存在性定理和複分析中的蒙泰爾定理時都起到了關鍵作用。此外，彼得-外爾定理的一個證明中也用到了阿斯科利定理。

阿斯科利定理的具體形式如下：

實數域上的情況：

考慮一個定義在實數軸中的有界閉區間 [a,b] 上的實數值函式序列 (fn)n∈N。如果這個序列是一致有界並且等度連續的，那麼必定這個函式序列中存在一個子序列 (fnk) 是一致收斂的。