坐標轉換公式主要用於在兩個坐標系之間轉換點的坐標。這些公式包括旋轉和無旋轉的情況。
坐標系旋轉公式：
假設有兩個坐標系XOY和X'O'Y'，它們之間的夾角為θ，逆時針旋轉為正方向。點P在兩個坐標系中的坐標分別為(x, y)和(x', y')。則坐標轉換公式為：
x = x'cosθ - y'sinθ
y = x'sinθ + y'cosθ
如果坐標系X'O'Y'相對於XOY有平移，設平移向量為(x0, y0)，則轉換公式變為：
x = x'cosθ - y'sinθ + x0
y = x'sinθ + y'cosθ + y0
相反地，從XOY坐標系轉換到X'O'Y'坐標系的公式為：
x' = (x - x0)cosθ + (y - y0)sinθ
y' = -(x - x0)sinθ + (y - y0)cosθ
使用旋轉矩陣表示，若點P的坐標為X=[x,y,1]T和X'=[x',y',1]T，則轉換公式可簡化為：
X = [cosθ -sinθ x0
sinθ cosθ y0
0 0 1]X'
坐標系平移公式：
在沒有旋轉的情況下，假設坐標系X'O'Y'相對於XOY僅平移，平移向量為(dx, dy)。則坐標轉換公式為：
x' = x - dx
y' = y - dy
以上公式涵蓋了平面內點的坐標轉換，包括旋轉和平移的情況。這些公式在計算機圖形學、機器人學和地理信息系統等領域有著廣泛的套用。