主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一種在數據分析和機器學習中常用的降維方法。它的核心思想是通過正交變換將可能存在相關性的原始變數轉換為一組線性不相關的變數，這些新的變數被稱為主成分。
具體來說，主成分分析是一種數學變換，它可以將一組相關變數通過線性變換轉換成另一組不相關的變數。這些新變數的方差按照遞減順序排列，且在變換過程中保持變數的總方差不變。第一主成分擁有最大的方差，第二主成分次之，以此類推。
在實際套用中，主成分分析通常涉及以下步驟：
數據標準化：首先對數據進行預處理，消除量綱的影響。
計算相關係數矩陣：然後計算原始變數之間的相關係數矩陣。
特徵分解：通過特徵分解或奇異值分解（SVD）計算相關係數矩陣的特徵值和特徵向量。
提取主成分：使用特徵向量作為新變數的係數，構造主成分。
計算貢獻率和累計貢獻率：確定主成分的方差貢獻率，以及它們累計的貢獻率。
選擇主成分數量：根據累計貢獻率選擇足夠的主成分數量，以便保留足夠的信息。
降維處理：最後，使用選定的主成分對原始數據進行降維處理，減少變數的數量，同時儘量保持數據的信息量。
主成分分析在幾何上表現為將原坐標系變換成新的正交坐標系，使其指向樣本點散布最開的正交方向。這樣可以在保持數據結構的前提下，降低數據的維度，簡化後續的分析和處理。