由集合上的置換
置換群是由集合上的置換（即重新排列集合中元素的方式）組成的群。
在數學中，置換群是一種重要的概念，它不僅在群論中占據基礎地位，還在其他領域如代數方程理論、對稱性研究中有著廣泛套用。置換群中的元素是置換，即那些對集合元素進行重新排列的函式或映射。這些置換遵循群的四大基本性質，即封閉性、結合律、么元存在性和逆元存在性。封閉性意味著置換的複合（即一個置換後跟另一個置換）仍然是集合上的一個置換。結合律表示置換的複合是可結合的，么元（或恆等置換）是一個不改變任何元素排列的置換，而每個置換都有唯一的逆置換。
例如，對於有三個元素的集合，其置換群（對稱群）包含所有可能的元素排列。這些排列可以通過置換的複合進行運算，形成群的結構。置換群的概念是理解更複雜群論概念如對稱群、交錯群等的基礎，對於研究群作用和群的表示理論等高級概念非常重要。