特徵分解或相似標準形分解
譜分解，也稱為特徵分解或相似標準形分解，是一種數學工具，主要用於處理矩陣和運算元。它涉及將矩陣或運算元分解為特徵值和特徵向量的乘積形式。這種分解特別適用於可對角化的矩陣，因為只有這樣的矩陣才能被分解為特徵值和特徵向量表示的矩陣之積。
在更廣泛的數學領域，譜分解的概念被擴展到無窮維空間，如Hilbert空間。在這種情況下，譜集可能是連續的，並且可以通過譜集上的測度進行分解。這種分解允許在譜子集上進行積分，積分的結果是正交投影運算元，這些運算元可以將向量投影到相應的譜子空間。整個Hilbert空間可以被視為這些譜子空間的直和。
譜分解在量子力學中有著重要的套用，例如位置表象中的位置運算元和動量表象中的動量運算元，它們都可以被視為乘法運算元。在這些領域，譜分解不僅關注於矩陣的特徵值和特徵向量，還涉及到更複雜的數學結構，如投影值測度（projection-valued measure），它允許在譜子集上進行積分，從而實現對向量的投影操作。