保角映射

保角映射，也稱為共形映射，是一種複變函數中的重要概念，它能夠將一個區域內的複雜問題通過映射轉化為另一個區域內的簡單問題進行研究和處理。這種映射在流體力學、空氣動力學、彈性力學、電學等多個學科領域都有著廣泛的套用。

保角映射的核心性質包括保角性和伸縮率不變性。保角性指的是在映射下，原區域中任意兩條曲線的交角在映射後的區域中保持不變，即它們之間的相對角度和方向都不發生變化。伸縮率不變性則意味著在映射過程中，原區域中某一點的局部伸縮率（即曲線在該點的長度變化率）在映射後的區域中保持不變。

分式線性映射是保角映射的一種重要形式，它可以通過簡單的數學表達式實現保角映射。例如，z平面內的單位圓可以通過分式線性映射保角地映射到w平面內的單位圓，同時保持圓的形狀不變。

總結來說，保角映射是一種在複分析中非常重要的工具，它能夠通過保持角度和伸縮率不變性的映射，將一個區域內的複雜問題轉化為另一個區域內的簡單問題，從而簡化研究和計算過程。