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合式公式是什麼

合式公式,也稱為謂詞公式,是形式語言中的一種表達式,它遵循特定的規則構建。以下是合式公式的定義:

原子公式是合式公式。

如果φ和ψ是合式公式,則(φ∧ψ)和(ᒣφ)也是合式公式。

如果φ是合式公式,而x是變元,則(ᗄx)φ也是合式公式。

通過有限次套用上述規則1至3得到的符號序列也是合式公式。

合式公式可以簡稱為公式。如果一個公式φ中的自由變元都屬於某個集合,例如{x₁,x₂,…,xₑ},則φ也可以記為φ(x₁,x₂,…,xₑ)。不含量詞和自由變元的合式公式分別稱為開公式閉公式,後者又稱為語句。例如,R(x,y)是一個開公式,而ᗄxR(x)是一個語句。由原子公式及聯結詞∧,∨,ᗄ,∃構成的語句稱為正語句。

命題公式(也稱為合式公式)是數理邏輯的術語,它是按照一定規律形成的符號序列。在命題演算中,公式通常用歸納定義給出。例如,在一個具有五個聯結詞ᒣ,∨,∧,→,≡的系統中,合式公式的定義如下:

命題變元和命題常元是公式。

如果α是公式,則ᒣα也是公式。

如果α,β是公式,則α∨β,α∧β,α→β,α≡β均為公式。

只有由上述規則給出的才是公式。

合式公式的遞歸定義包括:

原子謂詞公式是合式公式。

否定的套用(例如,A的否定也是合式公式)。

聯結詞的套用(例如,A AND B, AOR B, AèB, Aß>B都是合式公式)。

量詞的套用(例如,(ANY x)A和(EXT x)A都是合式公式)。

只有按照上述規則得到的公式才是合式公式。

此外,還存在等價關係,如否定之否定、分配律、交換律、結合律等。