向量的加法和數乘都滿足消去律，但向量的內積和矢量積不滿足消去律。
向量的加法：
消去律成立：如果 \(a + c = b + c\)，則 \(a = b\)。這是因為加法有逆運算，即減法。因此，可以通過減去 \(c\) 來消去 \(c\)，得到 \(a\) 和 \(b\) 相等。
向量的數乘：
消去律成立：如果 \(k
eq 0\) 且 \(k\alpha = k\beta\)，則 \(\alpha = \beta\)。這是因為純數有除法，所以數乘的「逆運算」也存在，即通過除以 \(k\) 來消去 \(k\)。因此，如果兩個向量乘以同一個非零純數後相等，那麼這兩個向量也必須相等。
向量的內積：
消去律不成立：存在非零向量 \(a\) 和 \(b\) 使得 \(a \cdot b = 0\)，即存在正交情況。因此，如果 \(a \cdot c = b \cdot c\)，只能得到 \((a - b) \cdot c = 0\)，但不能推出 \(a = b\)。
向量的矢量積：
消去律不成立：共線情況更為普遍。如果 \(a \times c = b \times c\)，只能得到存在某個數 \(k\) 使得 \(a - b = kc\)，但不能推出 \(a = b\)。
然而，通過聯立內積和外積的等式，可以消除這些不確定性。例如，如果 \(a = b \Leftrightarrow \{a \cdot c = b \cdot c, a \times c = b \times c\}\)，那麼在 \(c
eq 0\) 的情況下，可以消去不確定性，從而定義除法。