唯一分解定理，也 稱 為算 術基本定理，指的是任何 一個大 於1的正整 數N都可以唯一分解成有限 個 質 數的乘 積。具 體 來 說，可以表示 為N = P1a1⋅P2a2⋅P3a3⋯PnanN=P1a1⋅P2a2⋅P3a3⋯Pnan，其中Pi(i=1,2,3…n)Pi(i=1,2,3…n)P1P2P3…Pn均 為 質 數，aiaiai均 為正整 數。 這 樣的式子成 為N的 標準分解式。
唯一分解定理的 證明 基於 數 學 歸 納法和 質 數的性 質。 一個 數肯定是由合 數和 質 數 構成的，合 數又可以分解成 質 數和合 數，最 後 遞 歸下去就 會 變成 質 數的乘 積。例如，12可以分解 為3⋅4=3⋅2⋅212=3\cdot4=3\cdot2\cdot212=3⋅4=3⋅2⋅2， 進一步分解 為 質 數的乘 積，即12=22⋅312=2^2\cdot312=22⋅3。 這 種 標準形式是唯一的。
唯一分解定理的 套用之一是求出 數n的因子 個 數。根 據定理，n可以分解 為多 個 質 數的乘 積，那 麼它的 約 數必然也可以分解 為 這些 質 數中一些的乘 積。每 個 質 數都有 選和不 選 兩 種可能，因此因子 個 數可以通 過公式(1+a1)⋅(1+a2)⋯(1+an)(1+a_1)\cdot(1+a_2)\cdots(1+a_n)(1+a1)⋅(1+a2)⋯(1+an) 計算，其中ai表示N的 標準分解式的 冪次 數。