外微分是微分幾何和微分拓撲中的一個重要概念，它定義了一個微分形式到另一個階數的微分形式的運算元。具體來說：
定義：外微分是一個將k階微分形式映射到k+1階微分形式的運算元。對於k-形式ω，其外微分定義為dω。例如，對於0次外微分形式f（即函式f），其外微分為df，即函式的普通全微分。
性質：外微分具有以下性質：
線性：外微分是線性的，即對任意常數a和b以及k-形式ω和η，有d(aω+bη)=adω+bdη。
楔積法則：外微分與楔積（一種向量或一形式的外代數運算）兼容，即d(ω∧η)=(dω)∧η+(-1)^p(ω∧dη)，其中p是ω的形式度。
d^2=0：外微分的一個基本性質是其平方等於零，即ddω=0，這表明外微分是一個冪等的運算元。
套用：外微分在多個領域中有重要套用，包括但不限於：
曲線和曲面積分：在計算曲線積分和曲面積分時，外微分的概念可以幫助簡化計算，例如Green公式、Stokes公式和Gauss公式都可以通過外微分來統一表達。
微分幾何：在外微分的幫助下，可以更好地理解流形上的幾何結構，如切叢和餘切叢的概念。
綜上所述，外微分不僅是一個數學概念，它也是連線不同數學分支（如微分幾何、微分拓撲）的重要橋梁。通過理解外微分的定義、性質和套用，我們可以更深入地探索這些領域的內在聯繫。