公理和定理是數學和其他學科中兩個基本而重要的概念，二者有著不同的含義和作用。以下是詳細介紹：
公理。公理是人們通過長期實踐和廣泛認可的基本命題，它們被視為不證自明的事實，不需要進一步的證明。公理是整個理論體系的基礎，為其他命題或定理提供出發點。它們是客觀規律的體現，廣泛存在於各個學科領域，如數學、物理學等。
定理。定理則是在公理或已知真理的基礎上，通過邏輯推理和證明得到的真命題。定理的證明是一個推論過程，旨在驗證其真實性和正確性。與公理不同，定理需要通過嚴格的邏輯鏈條來證明其有效性。
簡而言之，公理是不需要證明的基本事實，是理論體系的基礎；而定理則是基於這些公理或其他已知真理，通過邏輯推理得到的真命題。