巴拿赫定理，也稱為哈恩-巴拿赫定理（Hahn-Banach theorem），是泛函分析中的一條基本定理，它表明在某些向量空間上定義的有界線性運算元可以擴張到整個空間，並且說明了存在「足夠」的連續線性泛函，定義在每一個賦范向量空間上，使得對偶空間的研究變得有趣味。
哈恩-巴拿赫定理的表述和內容如下：
設X是實或複數域上的一個向量空間，V是X的線性子空間。
如果p是V上的一個次線性函式（可以是半範數或範數），f是V上的一個線性泛函，且滿足某些條件（例如f的範數小於p的範數），那麼存在一個線性泛函F，它擴展了f並且滿足一些特定的性質。
這個定理的證明依賴於選擇公理的一些弱形式，如佐恩引理。
哈恩-巴拿赫定理的適用性和重要性在於：
它為泛函分析中的許多問題提供了解決方案，特別是在無窮維空間中。
它為研究函式的極值問題、偏微分方程的解等提供了基礎工具。
它揭示了線性泛函與凸集分離之間的深刻聯繫，這兩個概念在數學中都有廣泛的套用。
此外，巴拿赫定理與巴拿赫不動點定理和巴拿赫-塔斯基定理中的巴拿赫有關，但它們是不同的數學概念。巴拿赫不動點定理確保了在度量空間中一定自映射的不動點的存在性和唯一性。而巴拿赫-塔斯基定理則是一個關於如何通過旋轉和平移操作將一個球分解並重新組合成兩個相同的球的驚人結果，它揭示了選擇公理的一些深刻後果。