快速傅立葉分析

快速傅立葉分析（FFT）是一種用於計算離散傅立葉變換（DFT）的高效算法。它由J.W.庫利和T.W.圖基於1965年提出。FFT的核心思想是將原問題分解為多個子問題，並通過巧妙的設計，使得這些子問題能夠以較低的時間複雜度（O(nlog⁡n)）求解，從而整體上提高了算法的效率。

具體來說，FFT通過以下步驟實現：

多項式係數表示：對於一個n+1次多項式f(x)，我們可以知道每一項的係數，從而唯一確定f(x)。

單位根：在單位圓上可以得到n個複數，其中幅角為正且最小的複數稱為n次單位根，即ωn=cos⁡2πn+isin⁡2πn。

點值表示：將多項式的係數表示為點值表示，即{(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),...,(xn,f(xn))}。

乘法計算：通過單位根和點值表示，我們可以計算兩個多項式的乘積，即f(x)⋅g(x)。

逆變換：最後，將點值表示轉回係數表示，並利用逆傅立葉變換得到原信號的頻譜。

通過以上步驟，FFT能夠以較低的時間複雜度（O(nlog⁡n)）計算多項式的乘法，從而大大提高了計算效率。

以上是快速傅立葉分析的基本概念和步驟，希望對你有所幫助。