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替代公理

替代公理模式Zermelo-Fraenkel集合論中的一個重要公理模式,它斷言如果一個集合A在某個映射(泛函謂詞)下的像存在,那麼這個像也是一個集合。這個公理對於構造特定的大集合是必需的。

具體來說,如果存在一個集合A,對於任意的x屬於A和任意的一個對象y,存在一個關於x和y的命題P(x,y),使得對於任意的x屬於A,最多能夠找到一個y使得P(x,y)為真,那麼存在一個集合,該集合由所有滿足對某個x屬於A,P(x,y)為真的y組成。這意味著,對於任意的對象z,如果z屬於這個集合,那麼存在某個x屬於A,使得P(x,z)為真。

需要注意的是,雖然替代公理模式在構造特定的大集合時非常有用,但它並不強調存在性,而只強調了唯一性。這意味著,如果一個非空集合X通過「存在唯一一個」形式的替代公理,最小也只能得到一個單元素集Y(每一個X的元素x都必須要存在一個y滿足P(x,y),而最「差」的情況就是所有這些y是相同的,從而Y={y}),而得不到空集。然而,通過分類公理(P(x)對所有x∈X都是假的),是可以得到空集∅的。分類公理斷言,如果存在一個集合A,對任意x∈A,令P(x)表示關於x的一個性質,那麼存在一個集合,該集合恰好是由A中那些使得P(x)為真的元素x構成。