柯西不等式在高中數學中有兩種主要形式：
二維柯西不等式的代數形式：
設 \( a, b, c, d \) 均為實數，則有
\[ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2 \]
等號成立的條件是 \( ad = bc \)。
柯西不等式的向量形式：
設 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 為平面上的兩個向量，則有
\[ |\alpha| \cdot |\beta| \geq |\alpha \cdot \beta| \]
等號成立的條件是 \( \beta \) 是零向量，或者存在實數 \( k \)，使得 \( \alpha = k\beta \)，即兩個向量共線。
以上公式在高等數學和其他數學分支中也有廣泛的套用，並且可以通過擴展到更多維度的向量空間。