柯西-黎曼公式是複變函數論中的一個基本公式，它描述了複變函數在複平面上的梯度。具體來說，柯西-黎曼方程可以表述為：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \]
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]
這裡的 \( u \) 和 \( v \) 分別是複變函數 \( f \) 的實部和虛部。柯西-黎曼公式的證明基於對複數域上的微分運算和極限概念的研究。這個公式的直觀理解是，複變函數的實部和虛部在複平面上應該是共軛向量場，即它們關於原點對稱，並且沿著實軸方向相反。
複變函數可以用公式 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 來表示，其中 \( z = x + iy \)，\( x \) 和 \( y \) 是實數，\( i \) 是虛數單位。複變函數的解析性與其滿足柯西-黎曼方程密切相關。
在數形結合的可視化中，實部的梯度用藍色箭頭表示，虛部的梯度用紅色箭頭表示。根據柯西-黎曼方程，兩者應該是共軛關係。