極坐標系下的弧長公式可以通過兩種方法推導出來，分別是間接推導過程和直接推導過程。
間接推導過程：
首先，將極坐標系下的曲線函式表示為ρ=ρ(θ)，其中dρ=ρ′dθ。
然後，將曲線轉換為直角坐標系下的參數方程：y=ρsinθ，x=ρcosθ。
對參數方程微分，得到dy和dx的表達式。
利用勾股定理，將dy和dx的表達式代入直角坐標系下的弧長公式ds=(dx)2+(dy)2中，得到ds=(ρ2+(ρ′)2)dθ。
最後，對ds進行積分，得到極坐標系下的弧長公式s=∫ρ2+(ρ′)2dθ。
直接推導過程：
在近似直角三角形ABC中，利用勾股定理得到ds=(ρdθ)2+(dρ)2。
將ds的表達式進行簡化，得到ds=(ρ2+(ρ′)2)dθ。
最後，對ds進行積分，同樣得到極坐標系下的弧長公式s=∫ρ2+(ρ′)2dθ。
綜上所述，無論採用間接推導還是直接推導，極坐標系下的弧長公式都是s=∫ρ2+(ρ′)2dθ。