泰勒公式是一種在數學中用於描述函式局部性質的公式，它可以通過函式的導數在某一點的值來近似表達函式在另一區間內的值。泰勒公式的推導基於泰勒中值定理，該定理表明，如果一個函式在包含某區間\( (a, b) \) 的開區間內具有直到\( n+1 \)階的導數，那麼這個函式可以表示為一個多項式和一個餘項的和。
帶拉格朗日餘項的泰勒公式可以表述為：
\[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x) \]
其中，\( R_n(x) \) 是餘項，可以表示為：
\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1} \]
這裡的\( \xi \)位於\( x \)和\( x_0 \)之間。
泰勒公式的推導可以通過反覆利用洛必達法則來實現。具體來說，當\( x \)接近\( x_0 \)時，可以通過逐項求導來展開\( f(x) \)的多項式部分，而餘項\( o((x-x_0)^n) \)表示的是\( n \)階無窮小。
使用泰勒公式的條件是函式\( f(x) \)在其定義域內至少需要\( n \)階可導。泰勒公式的一個典型套用是求任意函式的近似值，它還可以用於求等價無窮小、證明不等式、求極限等。