泰勒級數或泰勒展開
泰勒定理，也稱為泰勒級數或泰勒展開，是微積分中的一個基本概念。它描述了如何將一個函式在給定點的鄰域內的值表示為該點處的函式值以及該點各階導數值的無窮級數。具體來說，泰勒定理可以表述為：
對於函式( f(x) )在點( x_0 )的鄰域內，可以表示為：
[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x) ]
其中( R_n(x) )是餘項，它描述了級數的誤差。
餘項( R_n(x) )的表達式為：
[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1} ]
其中( \xi )介於( x_0 )和( x )之間。
泰勒定理的重要性在於它將複雜的函式表示為簡單的冪級數之和，這有助於進行計算和分析函式的性質。泰勒定理的嚴格證明是在其誕生一個世紀之後，由柯西等人給出的。此外，泰勒定理不僅在數學中有廣泛套用，也在物理和工程領域中有著重要的套用，例如描述物理系統的振動問題。
需要注意的是，泰勒定理與泰勒斯定理（Thales' theorem）是兩個不同的概念。泰勒斯定理是關於幾何學的一個基本定理，與泰勒展開式無關。