特徵方程法是一種數學分析方法，廣泛套用於多個領域，包括數列、矩陣、微分方程和積分方程等。特徵方程是根據具體的數學對象而引入的特殊形式的方程，用於研究這些對象的性質。
在常微分方程中，特徵方程是通過將方程中的未知函式及其導數代入得到的。在數列的情況下，特徵方程可以用於求解特徵向量，例如，對於數列 (X(n+2)=C_1X(n+1)+C_2X(n))，可以構造特徵方程 (r^2-C_1r-C_2=0)，通過解這個方程可以得到數列的通項公式。
在矩陣理論中，特徵方程用於求解特徵值和特徵向量。如果矩陣 (A) 和數 (λ) 滿足 (Ax=λx)，那麼 (λ) 稱為 (A) 的特徵值，(x) 稱為對應的特徵向量。特徵方程是 (|A-λE|=0) 的形式，其中 (E) 是單位矩陣。通過解這個方程，可以得到矩陣的特徵值和特徵向量。
特徵方程法的核心在於通過引入特徵方程，將問題轉化為求解特徵值或特徵向量的問題，從而簡化分析和計算過程。這種方法在數學和工程領域有著廣泛的套用，特別是在處理線性系統和線性變換時。