積分中值定理

積分中值定理是微積分中的一個重要概念，它揭示了定積分與函式在某一點處取值之間的關係。該定理分為兩部分：積分第一中值定理和積分第二中值定理。

積分第一中值定理：

如果函式f(x)在閉區間[a,b]上連續，則在[a,b]上至少存在一個點c，使得定積分∫(a到b)f(x)dx等於f(c)與區間長度(b-a)的乘積。即，∫(a到b)f(x)dx = f(c)(b-a)，其中a≤c≤b。

積分第二中值定理：

對於在[a,b]上可積的函式f(x)，如果f(x)在[a,b]上單調遞減並且f(a)≥0，或者f(x)單調遞增且f(b)≤0，那麼存在一個點c∈[a,b]，使得f(c)等於定積分∫(a到b)f(x)dx的值。

積分中值定理的套用非常廣泛，它們不僅在求極限、判定某些性質點、估計積分值等方面發揮著重要作用，而且對於理解微積分的基本概念和技巧也非常關鍵。