行列式是線性代數中的一箇重要概念，它具有多種應用和性質：
描述線性方程組的係數關係。行列式用於表示n元線性方程組的解，如果行列式不爲零，則表示矩陣是可逆的，即該線性變換是可逆的。
計算矩陣的秩。行列式的值可以確定矩陣的秩，秩是矩陣線性無關行或列的最大數量。
計算向量的長度、角度、正交性。行列式在計算向量的長度、角度、正交性等方面也有應用。
計算體積和麪積。行列式可以計算幾何形狀的體積和麪積，如平行四邊形、平行六面體等。
矩陣求逆。行列式用於計算矩陣的逆，逆矩陣在矩陣運算、數據挖掘、機器學習和人工智能等領域有廣泛應用。
計算特徵值。行列式在計算矩陣的特徵值和特徵向量方面非常重要，特徵值和特徵向量是理解矩陣行爲的關鍵工具。
其他應用。行列式還應用於優化、控制論、氣象學、計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、企業設備更新、文獻管理等。