泛函分析中的一個重要分支
譜理論是泛函分析中的一個重要分支，主要研究運算元的譜。在數學、物理和工程技術中，許多問題可以轉化為求解代數方程、微分方程、積分方程或微分積分方程等問題。通過對這些方程的研究，逐漸形成了運算元的譜理論，尤其是線性運算元的譜理論。譜論通過分析線性運算元譜的性質來研究該運算元的結構。在有限維空間上，譜論研究對應矩陣的本徵值、本徵空間以及若爾當分解等性質。希爾伯特空間上的正規運算元都有譜分解。微分運算元的譜理論是譜理論的重要方面，在微分方程、量子力學等理論中有著廣泛的套用。自共軛的常微分方程的邊值問題的研究發展成希爾伯特空間上自伴運算元（或自共軛運算元）的譜論，這是20世紀數學上的重大成就。
此外，譜理論也是一種在圖理論、幾何學和物理學中非常有效的分析工具。它通過明確一個興趣對象，如一個圖或點集（manifolds），然後將對象與一個矩陣或運算器（通常是線性動態系統的生成器或對象上的函式平方的Hessian矩陣）聯繫起來，最後將矩陣或運算器的譜屬性連線到原始對象的結構屬性。在每種情況下，完整的譜分解足以恢復原始對象；有趣的結果將結構與部分光譜信息聯繫起來。