麥克勞林級數公式是泰勒公式的一種特殊形式，主要用於函式在x=0處的展開。其基本形式為：
f(x) = f(0) + f'(0)x + 1/2!f''(0)x^2 + ... + 1/n!f^(n)(0) + f^(n+1)(ξ)/(n+1)!，其中ξ位於0和x之間。這意味著，如果函式f(x)在x=0處有足夠的導數，那麼f(x)可以表示為0附近各階導數的冪級數形式。
例如，對於函式sin(x)，其麥克勞林級數展開式為：
sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)，這裡o(x^3)表示比x^3高階的無窮小。
麥克勞林級數與泰勒級數的主要區別在於：
麥克勞林級數的展開點固定在x=0，而泰勒級數可以在任意點展開。
麥克勞林級數通常用於描述函式在原點的行為，而泰勒級數則更廣泛地用於描述函式在任意點的行為。
麥克勞林級數的餘項表示了級數展開與實際函式值之間的差異，這是由於忽略了無窮級數中的某些項。在上述sin(x)的例子中，餘項o(x^3)意味著當x不等於0時，級數隻近似地表示sin(x)，而無法精確表示。
總結來說，麥克勞林級數是一種特殊的泰勒級數，專注於函式在x=0處的行為，並通過計算該點處的導數值來構建級數展開。這種展開在理解和分析函式的局部性質時非常有用。