Borel-Cantelli引理是機率論中的一個重要工具，它提供了判斷某些事件是否幾乎必然發生的條件。具體來說，Borel-Cantelli引理可以表述為：
Borel-Cantelli引理：如果事件列{An}滿足∑n=1∞P(An)<∞，那么P(lim sup An)=0，即事件An发生的频率几乎必然趋于0。
逆Borel-Cantelli引理：如果P(lim sup An)=0，那麼∑n=1∞P(An)<∞不一定成立。例如，考虑区间(0,1)上的Lebesgue测度，令An=(0,1/n)，此时P(lim sup An)=P(∅)=0，但∑P(An)=∑1/n是发散的。
Borel-Cantelli引理在機率論和實際套用中有著廣泛的套用，特別是在處理隨機事件序列時。它不僅是弱大數定律和強大數定律之間的橋梁，還在其他領域如隨機過程、統計學等中發揮著重要作用。
套用示例：考慮一系列獨立的隨機變數{Xn}，如果存在某個常數c使得對於所有的n，都有P(|Xn|≥c)≤1/2^n，那麼∑P(|Xn|≥c)<∞。根据Borel-Cantelli引理，这意味着事件{|Xn|≥c i.o.}发生的概率几乎为0，即几乎所有样本路径都不会无限次地违反这个条件。
通過這些信息，我們可以看到Borel-Cantelli引理在機率論和統計學中的重要性，以及它在處理隨機事件序列時提供的強大工具。