拉格朗日中值定理（MVT）的定義和套用如下：
定義：對於函式( f(x) )在閉區間( [a, b] )上，如果( f(x) )在該區間內可導，則在區間( [a, b] )上至少存在一個開區間( (a, b) )內的數( c )，使得( f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) )。
套用：
證明單調性：通過拉格朗日中值定理，我們可以證明函式的單調性。例如，在區間( (0, 2\pi) )上，任取( x_1, x_2 )（其中( x_1 < x_2 )），由中值定理，我们可以得到( f(x_1) - f(x_2) = f'(c)(x_1 - x_2) )。当( f'(c) > 0 )時，( f(x_1) - f(x_2) )和( x_1 - x_2 )的符號一致，表明函式在該區間上是嚴格單調遞增的。
橋梁作用：拉格朗日中值定理的結論將導數的正負性與函式的增減性聯繫起來，為分析函式的性質提供了一個重要的工具。
通過上述套用，我們可以看到拉格朗日中值定理在分析函式性質時的重要性，特別是在證明函式的單調性方面。