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什麼叫微分

微分」是微積分中的一個基本概念,主要分為以下兩種解釋:

從直觀角度來看。微分是函式在某一點附近的局部變化率的線性近似。具體來說,當函式的自變數發生一個微小的改變時,函式值的改變可以分解為兩個部分,一部分是線性的,另一部分是比自變數改變數(通常記為h)更高階的無窮小。這種表示方法稱為微分法。

從數學定義角度來看。微分可以理解為函式在某一點的可微性。如果函式在某一點的可變增量可以表示為線性部分和一個比自變數改變數更高階的無窮小的和,那麼這個線性部分就是在該點的微分。具體來說,如果函式y=f(x)在點x0處可微,那麼因自變數的改變數△x引起的函式值的改變數△y可以表示為△y=A△x+o(△x),其中A是不依賴於△x的常數,o(△x)是△x的高階無窮小。這個線性部分的表達式dy=A△x就是y在點x0處的微分。

綜上所述,「微分」既是一種描述函式局部變化率的方法,也是函式在某一點可微的一個具體表現。