儒歇定理（Rouche's Theorem）是一個關於複平面內解析函式零點的重要定理。該定理的表述如下：
儒歇定理：如果沿著一條簡單閉曲線γ，對於所有的z，有條件`|f(z) - g(z)| < |f(z)|`成立，那么函数f和g在γ内部（不包括γ本身）的零点数目是相同的。这里的零点数目包括它们的重数。
為了證明這個定理，我們可以使用柯西積分公式和柯西積分定理。首先，考慮函式h(z) = f(z) / g(z)，其中g(z) ≠ 0。如果h(z)在γ上及γ內部都沒有零點，那麼f(z)和g(z)在γ內部的零點數目必須相同。
為了計算零點數目，我們可以考慮積分：
\[ \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f'(z)}{f(z)} dz \]
這個積分的結果是f在γ內部的零點數目。如果f沿γ沒有零點，這個積分的結果是0。
儒歇定理的證明中，我們考慮函式\( f + t\varphi \)，其中\( \varphi = g - f \)。沿著γ，我們有：
\[ |f + t\varphi| \geq |f| - |t\varphi| \geq |f| - |\varphi| > 0 \]
這意味著\( f + t\varphi \)沿γ沒有零點，因此我們可以考慮它的對數留數：
\[ N(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f'(z) + t\varphi'(z)}{f(z) + t\varphi(z)} dz \]
通過對t的變化，我們可以證明\( N(t) \)是t的連續函式，且\( N(0) = N(1) \)，從而說明f和g在γ內部的零點數目相同。
這個定理在複分析中有廣泛的套用，特別是在研究級數和方程根的分布時。