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巴普斯定理

巴普斯定理,也稱為巴普斯定律,是由巴普斯提出的一條定理,套用於數學和物理等學科。它可以用以下兩種形式來描述:

如果在一平面上取任一閉合區域,其面積為S,使它沿垂直於該區域的平面運動形成一個體積為V的立體,那麼這個立體圖形的體積就等於質心所經路程r乘以區域面積。表達式為V=S·r。

如果令某一長為L的曲線段,其長度為L,使它沿著垂直於它所在平面的方向掃過一個面積S,那麼這個面積的大小就等於線段質心移動的距離r乘以線段的長度。表達式為S=L·r。

巴普斯定理在物理學中的套用包括:

求平面圖形的質心。例如,半圓面繞著它的直徑旋轉形成一個球體,假設半圓面的半徑為R,那麼它的面積即為S=πR^2/2,所得球體體積為V=4πR^3/3,又設質心離半圓面的圓心距離為X,則質心旋轉一周經過的路程為L=2πX,由巴普斯定理得V=SL,所以X=4R/3π。

求旋轉體的體積。例如,圓錐是由一個直角三角形繞直角邊旋轉得來的,所以它的體積等於三角形的質心到直角邊的距離乘以直角三角形的面積,而三角形質心到直角邊的距離又是直角邊上高的1/3,於是體積的計算就十分簡單了。

求圓環體表面積。圓心O距中心軸M的長度為R,圓O半徑為r,則圓O周長為2πr,將它沿垂直於其所在平面的方向繞M軸一周後質心O移動路程2πR,所以旋轉得到的空心圓環體的表面積為2πr*2πR=4π^2Rr。