打架是否構成刑事拘留，主要取決於案件的具體情況和法律規定。以下是關於打架刑事拘留的詳細解釋：
拘留期限：
一般情況下，公安機關對被拘留的人認為需要逮捕的，應在拘留後的三日之內向人民檢察院申請審查批準。在特殊情況下，提請審查批準的時間可以延長一日至四日。
對於涉及流竄作案、多次作案、結夥作案的重大嫌疑分子，提請審查批準的時間可以延長至三十日。
因此，根據不同情況，打架刑事拘留的時間最長可能達到三十七天。
逮捕決定：
人民檢察院應當自接到公安機關提請批準逮捕書後的七日以內，作出批準逮捕或者不批準逮捕的決定。
如果人民檢察院不批準逮捕，公安機關應當在接到通知後立即釋放被拘留人員，並且將執行情況及時通知人民檢察院。
法律後果：
根據《治安管理處罰法》和《刑法》的相關規定，打架鬥毆可能受到不同程度的行政處罰或刑事處罰。
例如，故意傷害他人身體的，根據情節嚴重程度，可能被處以三年以下有期徒刑、拘役或者管制。
綜上所述，打架是否構成刑事拘留取決於案件的具體情況和法律的規定。公安機關在拘留後的三日之內需向人民檢察院申請審查批準，且在特定情況下，拘留期限可以延長。人民檢察院將在七日以內作出是否批準逮捕的決定。打架鬥毆的法律後果可能包括行政處罰或刑事處罰，具體取決於案件的嚴重程度。