杜立特分解法（Doolittle decomposition method）是一種用於解線性方程組的算法，屬於三角分解法的一種。它將係數矩陣 \( A \) 分解為一個單位下三角矩陣 \( L \) 和一個上三角矩陣 \( U \) 的乘積，即 \( A = L \times U \)。在分解過程中，\( L \) 的對角元素被設定為 1，以簡化計算。
算法的步驟如下：
輸入：方程組的階數 \( n \)，係數矩陣 \( A \) 和右端的常數向量 \( b \)。
初始化：將 \( L \) 的對角元素設定為 1。
計算：
按順序（\( k = 1, 2, \ldots, n \)）先行後列交替計算 \( U \) 和 \( L \) 的元素。
對於 \( j = 1, 2, \ldots, n \)，計算 \( U \) 的元素。
對於 \( i = 2, 3, \ldots, n \)，計算 \( L \) 的元素。
計算 \( U \) 的第 \( k \) 行和 \( L \) 的第 \( k \) 列元素，其中 \( k = 2, 3, \ldots, n \)。
求解：
順代計算：\( L \times Y = b \)，以計算 \( Y \)。
回代計算：\( Y = U \times X \)，以計算 \( X \)。
輸出：方程組的解，並結束算法。
通過這種方式，杜立特分解法能夠將一個複雜的線性方程組轉換為一個簡單的上三角方程組和一個下三角方程組，從而便於求解。