正交基底是線性代數和數學分析中的一個重要概念，主要用於描述和分析空間中的向量和函式。以下是關於正交基底的一些關鍵點：
定義：
正交基底是指在一個空間中，基底向量兩兩正交（即垂直）的向量集合。這意味著任意兩個非零且不同的向量在點積運算下的結果為零。
標準正交基底則是正交基底的一個特例，其中每個向量的長度都為單位長度（即模長為1）。這通常表示為標準正交基底，其中每個向量的模長為1，並且它們兩兩正交。
套用：
在希爾伯特空間中，正交基底對於求解最近點問題特別有用。當基底向量正交時，可以通過計算內積來確定投影，進而找到空間中距離給定點最近的點。這種方法不僅適用於幾何空間，也適用於函式空間的表示和分析。
例如，傅立葉級數就是一組無窮維的正交基底，它可以表示任何周期函式。這種表示方法使得我們可以將複雜的函式問題簡化為更容易處理的基底係數問題。
數學性質：
正交基底的一個重要性質是它們可以構成一個完備的向量空間。這意味著空間中的任意向量都可以唯一地表示為這些基底向量的線性組合。
標準正交基底的一個額外性質是它們的Gram矩陣是一個單位矩陣。這是因為在標準正交基底中，任意兩個非零且不同的向量的點積為零，除了自點積（即與自身的點積），這總是等於向量的模長的平方，即1。
綜上所述，正交基底，尤其是標準正交基底，線上性代數和函式分析中扮演著至關重要的角色。它們不僅簡化了問題的求解過程，還為我們提供了理解和分析空間結構的新視角。