正定矩陣的特徵值具有以下性質：
特徵值均為正實數：這意味著對於任意非零向量 \( x \)，都有 \( x^T A x > 0 \)，其中 \( A \) 是正定矩陣。
特徵值的乘積等於行列式：對於 \( n \) 階矩陣 \( A \)，如果其特徵值為 \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \)，則 \( \lambda_1 \lambda_2 \ldots \lambda_n = |A| \)。
特徵值的和等於矩陣的跡：即 \( \lambda_1 + \lambda_2 + \ldots + \lambda_n = a + c + \ldots \)，其中 \( a, c, \ldots \) 是矩陣的對角線元素。
這些性質不僅適用於正定矩陣，也適用於半正定矩陣，後者具有非負特徵值。
證明正定矩陣的特徵值均為正實數：
假設 \( \lambda \) 是正定矩陣 \( A \) 的一個特徵值，\( \alpha \) 是對應於 \( \lambda \) 的一個特徵向量。那麼有 \( A\alpha = \lambda\alpha \)。因此，\( \lambda ||\alpha||^2 = \alpha^T A \alpha > 0 \)，由於 \( ||\alpha||^2 > 0 \)，我們可以得出 \( \lambda > 0 \)。
綜上所述，正定矩陣的特徵值都是正實數，這一性質是正定矩陣定義的關鍵部分。