泰勒公式（Taylor's formula）是一種用於表示函式局部行為的數學工具，它可以將函式在某一點的附近展開成無窮級數。泰勒公式的標準形式包括帶Peano餘項和帶拉格朗日餘項的版本。帶Peano餘項的泰勒公式可以反覆利用L'Hospital法則來推導，而帶拉格朗日餘項的泰勒公式則提供了具體的餘項表達式，有助於理解公式的誤差範圍。
以下是一些常見的泰勒公式示例：
自然對數函式：ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ... + (-1)^(k-1) * (x^k) / k，其中 |x| < 1。
正弦函式：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ... + (-1)^(k-1) * (x^(2k-1)) / (2k-1)!，對於所有 x。
餘弦函式：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... + (-1)^k * (x^(2k)) / (2k)!，對於所有 x。
反正弦函式：arcsin(x) = x + 1/2 * x^3/3 + 13/(24) * x^5/5 + ...，其中 |x| < 1。
反餘弦函式：arccos(x) = π - (x + 1/2 * x^3/3 + 13/(24) * x^5/5 + ...)，其中 |x| < 1。
雙曲正弦函式：sh(x) = x + x^3/3! + x^5/5! + ... + (-1)^(k-1) * (x^(2k-1)) / (2k-1)!，對於所有 x。
雙曲餘弦函式：ch(x) = 1 + x^2/2! + x^4/4! + ... + (-1)^k * (x^(2k)) / (2k)!，對於所有 x。
反雙曲正弦函式：arcsh(x) = x - 1/2 * x^3/3 + 13/(24) * x^5/5 - ...，其中 |x| < 1。
使用泰勒公式的條件是函式在其展開點附近具有足夠階數的導數。泰勒公式在求任意函式的近似值、求等價無窮小、證明不等式、求極限等方面有著廣泛的套用。