能量守恆方程是自然界中的一個基本定律，它描述了在封閉系統中能量如何轉換和守恆。以下是能量守恆方程的詳細解釋和推導：
能量守恆定律的表述：
在沒有任何外界能量交換的情況下，一個封閉系統內的總能量保持不變。這意味著系統內的能量既不會消失也不會產生，只會以不同的形式在系統內部轉換。
積分形式的能量守恆方程：
對於一個體積為Ω的封閉系統，其內部物質的動能和內能的總和為∫Ωρ(U+12v→2)dV，其中U是單位質量物質的內能。
能量守恆定律可以表示為：ddt∫Ωρ(U+12v→2)dV = ∫Ωρf→⋅v→dV - ∫∂Ωpv→⋅dS→ - ∫∂Ωf→F⋅dS→ + ∫ΩρqdV，其中右側的各項分別代表體積力和面積力所作的功，以及通過邊界傳入或傳出的熱量。
微分形式的能量守恆方程：
在微分形式中，能量守恆方程可以表示為：∂∂t(ρe) + ∇⋅(ρeU→) = -∇⋅q + fv⋅U→ + ∇⋅(τ⋅U→) - ∇⋅(pU→) + s，其中e是單位質量流體的總能量，q是熱流量，fv是體積力，τ是應力張量，p是壓力。
比內能形式的能量守恆方程：
比內能形式的能量守恆方程為：ρDu^Dt + ρU→⋅DU→Dt = -∇⋅q + fv⋅U→ + ∇⋅(τ⋅U→) - ∇⋅(pU→) + s，其中u^是比內能，Du^Dt是物質導數。
綜上所述，能量守恆方程描述了在封閉系統中能量的轉換和守恆，包括動能、內能、熱量傳遞以及外力做功的影響。這些方程在物理學、工程學和許多其他領域中都有著廣泛的套用。