複分析是數學的一個分支，主要研究複變函數，尤其是亞純函式和復解析函式的性質和特徵。它通過將分析學的方法從實數域擴展到複數域，來解決各種數學和物理問題。
複分析的核心概念包括複數、解析函式、全純函式、調和函式、亞純函式等。複數具有實部和虛部，能夠在兩個維度上描述波動等現象，使得複分析在流體動力學、電磁波傳播、量子力學、信號處理、圖像處理、通信系統和金融等領域有著廣泛的套用。
複分析的主要里程碑包括柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯的工作，他們為複分析奠定了基礎。複分析的一個重要套用是解析函式，這些函式在某個區域內處處可導，並且其導數也是解析函式。全純函式是解析函式的一種特殊情況，它在全平面內處處可導。調和函式作為解析函式的實部或虛部，在數學物理中占有重要地位。共形映射則是在保持角度不變的雙曲幾何中的保角映射，對於理解和解決許多實際問題具有重要作用。
複分析還涉及到級數、積分、微分方程等概念和方法。例如，複分析可以處理實值函式難以處理的問題，如泰勒展開式的存在性和收斂性。在複數域中，如果函式在某個鄰域內是復可導的（也稱為全純），那麼它在該鄰域內是無限可導的，並且其泰勒展開式必須收斂於該函式本身，這一點在物理和工程學中尤為重要。
總之，複分析是數學中一個重要的分支，它不僅涵蓋了豐富的理論成果，還在多個領域中展現了其強大的套用價值。