Cayley定理，也被稱為凱萊定理，是群論中的一個重要定理。該定理的主要內容是：所有群G同構於在G上的對稱群的子群。這意味著，G在G的元素上的群作用可以被視為一個例子。集合G的置換是任何從G到G的雙射函式；所有這種函式的集合形成了在函式複合下的一個群，叫做「G上的對稱群」並寫為Sym(G)。Cayley定理通過把任何群（包括無限群比如(R,+))都當作某個底層集合的排列群，把所有群都放在了同一個根基上。因此，對排列群成立的定理對於一般群也成立。
具體來說，Cayley定理的證明過程如下：從初等群論中，知道了對於任何G中元素g必然有g*G=G；並通過消除規則知道了g*x=g*y若且唯若x=y。所以左乘g充當了雙射函式fg:G→G，通過定義fg(x) =g*x。所以，fg是G的排列，並因此是Sym(G)的成員。Sym(G)的子集K定義為K= {fg:g∈G並且fg(x) =g*x對於所有x∈G}是同構於G的Sym(G)的子群。得出這個結果的最快方式是考慮函式T:G→ Sym(G)對於所有G中的g有著T(g) =fg。(對Sym(G)中的複合使用"·"),T是群同態因為：(fg·fh)(x) =fg(fh(x)) =fg(h*x) =g*(h*x) = (g*h)*x=f(g*h)(x)，對於所有G中的x，因此：T(g) ·T(h) =fg·fh=f(g*h)=T(g*h)。同態T也是單射因為：T(g) = idG(Sym(G)的單位元)蘊含了對於所有G中的x有g*x=x，選取x為G的單位元e產生g=g*e=e。可替代的，T(g)也是單射因為：g*x=g*x'蘊含x=x'(通過左乘上g的逆元，因為G是群所以一定存在)。