柯西不等式，也稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，是由數學家柯西在研究數學分析中的「流數」問題時得到的。該不等式不僅在高等數學中是一個重要的不等式，而且它對於初等數學的學習也有很大的指導意義。柯西不等式的形式優美、結構巧妙，是高中四大經典不等式之一，對於解決一些初等和高等數學中的有關問題具有重要的作用。
柯西不等式的二維形式可以表述為：若a1, a2, b1, b2都是實數，則有(a1^2 + a2^2) * (b1^2 + b2^2) ≥ (a1 * b1 + a2 * b2)^2，若且唯若a1 * b2 = a2 * b1時，等號成立。這個不等式反映了四個實數之間的特定數量關係，具有簡潔、對稱的美感，並在數學和物理中有重要作用。
柯西不等式的三維形式可以表述為：若a1, a2, a3, b1, b2, b3都是實數，則有(a1^2 + a2^2 + a3^2) * (b1^2 + b2^2 + b3^2) ≥ (a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3)^2，若且唯若a1 * b2 = a2 * b1, a1 * b3 = a3 * b1, a2 * b3 = a3 * b2時，等號成立。
n維形式的柯西不等式可以表述為：若a1, a2, ..., an; b1, b2, ..., bn都是實數，則有(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)^2，若且唯若存在常數λ使得a1 / b1 = a2 / b2 = ... = an / bn時等號成立。這種表述是柯西不等式的最簡形式，也是其取等條件的一種表述方式。
柯西不等式的套用範圍很廣，只需簡記為「平方和的乘積不小於乘積和的平方」。取等條件是運用不等式時不容忽視的細節，需牢記。