幾何級數的求和公式可以表示爲：
公式：
當 |r| < 1 時，幾何級數的和 S 可以計算爲：
\[ S = \frac{a}{1 - r} \]
當 |r| ≥ 1 時，幾何級數的和 S 可以計算爲：
\[ S = a \cdot \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1} \]
解釋：
當 |r| < 1 時，公式 \( S = \frac{a}{1 - r} \) 適用於所有項都小於 1 的情況，這樣可以確保級數收斂。
當 |r| ≥ 1 時，公式 \( S = a \cdot \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1} \) 適用於所有項都大於或等於 1 的情況，同樣確保級數收斂。
推導過程：
首先，考慮幾何級數的前 n 項和 \( S_n \)，可以表示爲 \( a + ar + ar^2 + \cdots + ar^n \)。
然後，將 \( S_n \) 乘以 r，得到 \( rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^n + ar^{n+1} \)。
兩式相減，得到 \( (1 - r)S_n = a - ar^{n+1} \)。
最後，解出 \( S_n \)，得到 \( S_n = \frac{a(1 - r^{n+1})}{1 - r} \)。
注意：
當 r = 1 時，幾何級數退化爲常數列，其和不存在或定義爲無窮大。
當 |r| = 1 且 a ≠ 0 時，級數成爲無窮級數，其和同樣定義爲無窮大。
以上公式和解釋基於搜索結果。