施瓦茨引理是複分析中的一個重要結果，它闡述了定義在單位開圓盤上的全純函式的性質。該引理以數學家赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨的名字命名。具體內容如下：
設 ( \Delta = {z \in \mathbb{C} : |z| < 1} ) 是复平面中的开圆盘。
如果 ( f: \Delta \to \Delta ) 是全純函式，並且 ( f(0) = 0 )，則對於所有 ( z \in \Delta )，有 ( |f(z)| \leq |z| ) 成立，並且 ( |f'(0)| \leq 1 )。
如果存在 ( z
eq 0 ) 使得等式 ( |f(z)| = |z| ) 成立，或者 ( |f'(0)| = 1 ) 成立，則 ( f(z) ) 必須是形如 ( az ) 的旋轉，其中 ( |a| = 1 )。
這個引理不僅在複分析中有其重要性，而且在其他數學領域也有套用，儘管它不如黎曼映射定理那樣廣為人知。施瓦茨引理展示了全純函式的嚴格性，而實函式則沒有類似的結果。
此外，施瓦茨引理有一個推廣版本，稱為廣義施瓦茨引理，它適用於更一般的情況，例如當 ( f(z) ) 在 ( |z| < 1 ) 内解析且 ( |f(z)| < 1 ) 时，它提供了关于 ( f(z) ) 的更详细信息。
施瓦茨引理的證明依賴於最大模原理和全純函式的性質。在單位圓盤內全純且 ( f(0) = 0 ) 的函式 ( f )，如果在某個半徑為 ( r ) 的閉圓盤 ( D_r ) 內，( f(z) ) 的最大模為1，則 ( f(z) ) 必須是常數函式。如果 ( f(z) ) 在某點取值為1，則通過最大模原理，( f(z) ) 必須是常數函式。這種情況下，( f(z) ) 只能是 ( az )，其中 ( |a| = 1 )。