泰勒公式是一個數學工具，用於描述一個函式在某點附近的取值，基於該函式在某一點的導數值和該點附近的高階導數值。具體來說，如果函式( f(x) )在( x = x_0 )處具有任意階導數，那麼對於足夠接近( x_0 )的( x )，( f(x) )可以近似表示為：
[ f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n ]
這裡的( f^{(n)}(x_0) )表示( f(x) )在( x = x_0 )處的第( n )階導數值。這種表示方法可以用來近似計算複雜函式的值，特別是在需要計算函式在某點附近的值時。泰勒公式是函式微分學的一項重要套用，它提供了將複雜函式簡化為易於處理的形式的可能性。
泰勒公式的餘項( R_n(x) )表示了近似誤差，它是( (x - x_0)^n )的高階無窮小，這意味著當( x )非常接近( x_0 )時，餘項會變得非常小，從而使得泰勒公式成為一個有效的近似方法。
在實際套用中，泰勒公式被廣泛用於各種領域，包括物理學、工程學和經濟學等，以簡化複雜函式的分析和計算。