正方形的面積等於邊長的平方，這一結論可以從多箇角度理解和應用。
首先，正方形是特殊的長方形，其中長和寬都相等。長方形的面積計算公式是長乘以寬，即面積=長×寬。由於正方形的特殊性質，其面積計算公式可以簡化爲邊長乘以邊長，即面積=邊長×邊長。
其次，可以通過數學歸納法證明任何有理數邊長的矩形的面積，進而推廣到所有邊長的正方形。具體來說，假設我們不知道S（面積）與a（長）和b（寬）的關係，但隨着a和b的變化，S也會相應變化。例如，當a變爲原來的兩倍，S也會變爲原來的兩倍，即S=2S。這表明S與a成正比，同樣可以推出S與b成正比，因此S=kab，其中k爲比例係數，通常令k=1，即S=a×b。
最後，可以通過連續性原理證明，對於任意有理數r，有S=r^2S，當a爲無理數時，可以通過有理數點列逼近的方法得到同樣的結論。
綜上所述，正方形的面積等於邊長的平方是一箇基於數學原理的公理，它適用於所有邊長的正方形。