矩陣轉置

矩陣轉置是線性代數中的一個重要概念，它指的是將一個矩陣的行和列互換，從而得到一個新的矩陣。

設原矩陣為A，其行和列分別為i和j，轉置後的矩陣A'的行和列則為j和i，即A'(i,j)等於A(j,i)。轉置矩陣的行列式不變，如果原矩陣是m×n階，那麼轉置矩陣就是n×m階。矩陣轉置的計算方法非常簡單，只需要將原矩陣的行和列互換即可。

矩陣轉置具有以下性質：

轉置是自身逆運算，即(A^T)^T=A。

結合律和單位矩陣的性質，即(A+B)^T=A^T+B^T，(kA)^T=kA^T，其中k是常數，(AB)^T=B^TA^T。

如果A是方陣，那麼|A^T|=|A|。

對於任意矩陣A和B，以及任意標量k，有(A^T+B^T)^T=A^T+(B^T)^T，(kA^T)^T=k(A^T)，(AB^T)^T=B^TA^T。

矩陣轉置在數學、物理學、計算機科學等多個領域都有廣泛的套用，如線性方程組的求解、矩陣秩的計算、二次型理論的套用等。